00000162.htm

Euler-Maclaurin'sclie oder Poisson'sclie Formel. 153

if (0) + f(l) + f^) + •. + /•(»-- 1) +

CO. =j'f(x)d

dlese Pormel wird meist als die Euler'sche, aber auch wohl als die
Stirling'sche Summenformel bezeichnet. Es findet sicli jecloch bei
Keinem von Beiden eine Spnr von dem Restgliede ₇ wenngleich freilich
JEuler angegeben hat_? wann die Reihe der Ableitnngen convergirt.
tteihen, wie die obige, die zwar nicht convergent sind_? jedocli ein
Ilestglied besitzen, welches bei jeder Auswertlnmg der Snmme fiir
Irgend €iinen Werth von x den gemachten Fehler zn bestimmen er-
mogliclit, segehi nnter dem unglticklich gewablten Namen _7?semiconver-
genter Eeilien".

Nacli Enler ruhten die Untersnclmngen liber diese Reilie₇ bis
ilire Theorie wieder von Poisson in seiner am 11. Decbr, 1826 in der
Pariwr Akadoinie gelesenen Abhamllnng: _7?Sur le oalcul numeriqne des
Intograles definies^ entwickelt worden ist. Sie findet sicb. bei ib.m
j^c^nau iii der obigen Gestalt mid in alien wesentlichen Punkten richtig
abgoleitet. Er hat die Formal also zuerst gegeben; denn ohne Rest-
|j^li(Hl int os keine Pormel. Wir konnen sie deshalb als Poisson'sche
l^ormol boKoichnen. Mit Unrecht hat Jacobi geringschatzig von der
Vo iHson'schen Abhancilung gesprochen_? als er sie am Schhisse seines
AutsatKoa: _?;De usu legitimo formulae Maclaurianae" (Crelle's J, XII)
in wot i i gen Zeilen erwahnte untl von ihr sagte_; die Frage s'ei dort in
f^aiiK aiulcrer Weise behandelt. Das ist unzutreffend ; denn ixn Q-rmide
hutto dor Poisson'sche Aufsatz die Jacobi'schen Untersuchungen
ilbortidssig geniacht. Der Hauptunterschied liegt, abgesehen von cler
oloffanteren Deduction Jacobi's darin_; dass er die Bernoulli'schen
Fuuctioneii statt der Sutmnen

amffihrt, wodurch dann clas Restintegral der Formal (7) in eine Sumnxe

i a • .

von

r Restintegralen ./ + / + •••• auseinander gebrochen wird. Wahr-

scheinlioh. hatte Jacobi ohne Kenntniss der Poisson'sohen Arbeit die
Jahrhunderte alte Frage selbstandig und grtindlich gelost und erfuhr



	Euler-Maclaurin'sclie oder Poisson'sclie Formel. 153 if (0) + f(l) + f^) + •. + /•(»-- 1) +

	r CO. =j'f(x)d

	dlese Pormel wird meist als die Euler'sche, aber auch wohl als die Stirling'sche Summenformel bezeichnet. Es findet sicli jecloch bei Keinem von Beiden eine Spnr von dem Restgliede ₇ wenngleich freilich JEuler angegeben hat_? wann die Reihe der Ableitnngen convergirt. tteihen, wie die obige, die zwar nicht convergent sind_? jedocli ein Ilestglied besitzen, welches bei jeder Auswertlnmg der Snmme fiir Irgend €iinen Werth von x den gemachten Fehler zn bestimmen er- mogliclit, segehi nnter dem unglticklich gewablten Namen _7?semiconver- genter Eeilien". Nacli Enler ruhten die Untersnclmngen liber diese Reilie₇ bis ilire Theorie wieder von Poisson in seiner am 11. Decbr, 1826 in der Pariwr Akadoinie gelesenen Abhamllnng: _7?Sur le oalcul numeriqne des Intograles definies^ entwickelt worden ist. Sie findet sicb. bei ib.m j^c^nau iii der obigen Gestalt mid in alien wesentlichen Punkten richtig abgoleitet. Er hat die Formal also zuerst gegeben; denn ohne Rest- \|j^li(Hl int os keine Pormel. Wir konnen sie deshalb als Poisson'sche l^ormol boKoichnen. Mit Unrecht hat Jacobi geringschatzig von der Vo iHson'schen Abhancilung gesprochen_? als er sie am Schhisse seines AutsatKoa: _?;De usu legitimo formulae Maclaurianae" (Crelle's J, XII) in wot i i gen Zeilen erwahnte untl von ihr sagte_; die Frage s'ei dort in f^aiiK aiulcrer Weise behandelt. Das ist unzutreffend ; denn ixn Q-rmide hutto dor Poisson'sche Aufsatz die Jacobi'schen Untersuchungen ilbortidssig geniacht. Der Hauptunterschied liegt, abgesehen von cler oloffanteren Deduction Jacobi's darin_; dass er die Bernoulli'schen Fuuctioneii statt der Sutmnen

	amffihrt, wodurch dann clas Restintegral der Formal (7) in eine Sumnxe i a • .

	von	r Restintegralen ./ + / + •••• auseinander gebrochen wird. Wahr-


	scheinlioh. hatte Jacobi ohne Kenntniss der Poisson'sohen Arbeit die Jahrhunderte alte Frage selbstandig und grtindlich gelost und erfuhr